WSZYSTKO O FRAKTALACH
​
Fraktal - definicja
Samo sÅ‚owo fraktal (z Å‚ac. fractus - zÅ‚amany, czÄ…stkowy, uÅ‚amkowy) zostaÅ‚o wprowadzone w książce ,,The Fractal Geometry of Nature" przez Benoita Mandelbrota. Jest to pojÄ™cie dość mÅ‚ode, gdyż Mandelbrot zdefiniowaÅ‚ je w latach siedemdziesiÄ…tych XX w.. Odkryty przez Mandelborta zbiór nie byÅ‚ pierwszym takim zbiorem, już w wieku XIX mieliÅ›my do czynienia z obiektami geometrycznymi takimi jak: krzywa von Kocha czy dywanem SierpiÅ„skiego.
​
Mandelbort w pierwszych pracach scharakteryzował fraktale trzema własnościami:
* są określone zależnością rekurencyjną, a nie wzorem;
* ich część jest podobna do całości, co oznaczam, że mają one cechy samopodobieństwa;
* ich wymiar nie jest liczbą całkowitą;
Celem Mandelborta było udowodnienie poglądu, że w naturze wszystkie obiekty mają strukturę fraktalną. Natomiast takie idealne twory jak linia prosta, kwadrat czy koło, są wymyślonym przez człowieka ,,uproszczeniem natury".
Wymienione własności nie są wystarczające, by być podstawą ścisłej definicji matematycznej.
​
​
​
fraktale
Czym jest fraktal?
Wiemy już jakie są własności fraktali, ale czym one tak naprawdę są?
Otóż sÄ… to figury samo podobne, oznacza to, że fraktal jest figurÄ…, w której część figury jest podobna do jej caÅ‚oÅ›ci;
Poniżej przedstawiam jak p[powstajÄ… niektóre fraktale:
ŹródÅ‚o: http://www.fractal.art.pl/idee-2.html
Przykłady fraktali:
Zbiór Cantora:
Jest to odcinek domkniÄ™ty [0,1], podzielony na trzy równe części, z usuniÄ™tym odcinkiem Å›rodkowym (1/3, 2/3), pozostajÄ… tylko punkty brzegowe. TÄ™ samÄ… czynność powtarzamy z powstaÅ‚ymi dwoma odcinkami, w wyniku czego powstajÄ… cztery odcinki, z którymi robimy dokÅ‚adnie to samo. DziaÅ‚ania te prowadzÄ… do powstania zbioru Cantora, który ukazuje powyższy obraz. Jest to zbiór zamkniÄ™ty. Liczba jego punktów jest nieprzeliczalna oraz nie zawiera żadnego odcinka.
Krzywa von Kocha
Krzywa von Kocha jest opisywana jako granica ciÄ…gu linii Å‚amanych. Pierwsze trzy kroki (0,1,2) tego ciÄ…gu ukazuje powyższy obraz. Aby otrzymać krzywÄ… jak na rysunku z numerem 3, każdy z odcinków linii Å‚amanej, zastÄ™pujemy czterema odcinkami trzykrotnie krótszymi, GranicÄ… linii Å‚amanych w ten sposób jest krzywa Kocha. Można pokazać,że przedstawiona krzywa w żadnym punkcie nie ma stycznych, a jej dÅ‚ugość jest nieskoÅ„czenie dÅ‚uga.
Zbiór Mandelbrota
Na zmiennej pÅ‚aszczyżnie zespolonej rozpatrzymy ciÄ…g, którego poczÄ…tkowy wyraz jest zerem. PozostaÅ‚e wyrazy sÄ… okreÅ›lone zależnoÅ›ciÄ… rekrutacyjnÄ… zn+1 = zn² + c. Podane we wzorze c jest parametrem zespolonym. W zależnoÅ›ci od wartoÅ›ci parametru jest to ciÄ…g algebraiczny, dążący do do nieskoÅ„czonoÅ›ci, albo jest ograniczony. Wiemy, że jest to zbiór okreÅ›lony jako spójny, domkniÄ™ty, ograniczony, posiadajÄ…cy niezwykle skomplikowany ksztaÅ‚t.
Dywan Sierpińskiego
Przedstawiony na obrazie obok dywan SierpiÅ„skiego, powstaje w nastÄ™pujÄ…cy sposób. Podzielmy kwadrat na dziewięć jednakowych kwadratów i usuÅ„my wnÄ™trze Å›rodkowego kwadratu. TÄ… samÄ… czynność powtórzy z każdymi kolejnymi kwadratami, w wyniku czego powstanie 64 kwadraty. Z każdym kwadratem zrobimy to samo co na poczÄ…tku. To co pozostanie nazwane jest dywanem SierpiÅ„skiego. Jest to domkniÄ™ty i spójny zbiór. Każde dwa punkty możemy poÅ‚Ä…czyć liniÄ…, która bÄ™dzie caÅ‚kowicie leżaÅ‚a w tym zbiorze. Jest on nigdzie gÄ™sty i jego pole jest równe zero.
Animacja obok przedstawia kostkę Sierpińskiego.